Iată o încercare la un argument teoretic despre care am crezut
întotdeauna că ar funcționa, dar nu a încercat niciodată:
Numărul de intersecții a două submanifolduri transversale $ A $
și $ B $ de dimensiune complementară în interiorul unui al treilea
colector $ C $ poate fi calculat ca $ \ chi (A \ otimes B) $, unde
folosesc $ A $ și $ B $ pentru a desemna barele de structură ale
colectoarelor corespunzătoare, iar produsul tensor are loc în $ C $
-mod. În cazul în care intersecția nu este transversală, acest
lucru se pare că încă funcționează cu condiția să luați un produs
tensor derivat (să luați o familie plat care se deplasează unul
dintre intersectanții într-o poziție generală și să folosească
invarianța lui $ \ chi $ sub deformare plată pentru o perfecțiune
complex reprezentând celălalt intersect, poate?).
Presupunând cele de mai sus, auto-intersecția $ M.M $ a
diagonale $ M $ în $ M \ ori M $ este $ \ chi (M \ otimes ^ L M) $.
Deoarece $ M $ este netedă, $ \ text {Tor} ^ i (M, M) = \ Omega ^ i
$. Prin aditivitatea lui $ \ chi $, primiți:
$ M.M = \ sum_i \ chi (\ Omega ^ i) (-1) ^ i $
Pe de altă parte, teorema lui de Rham (sau Poincare lemma?)
Identifică partea dreaptă cu $ \ chi (M, \ text {constant sheaf}) =
\ chi (M) $, așa că am terminat.