Iată o încercare la un argument teoretic despre care am crezut întotdeauna că ar funcționa, dar nu a încercat niciodată:
Numărul de intersecții a două submanifolduri transversale $ A $ și $ B $ de dimensiune complementară în interiorul unui al treilea colector $ C $ poate fi calculat ca $ \ chi (A \ otimes B) $, unde folosesc $ A $ și $ B $ pentru a desemna barele de structură ale colectoarelor corespunzătoare, iar produsul tensor are loc în $ C $ -mod.
În cazul în care intersecția nu este transversală, acest lucru se pare că încă funcționează cu condiția să luați un produs tensor derivat (să luați o familie plat care se deplasează unul dintre intersectanții într-o poziție generală și să folosească invarianța lui $ \ chi $ sub deformare plată pentru o perfecțiune complex reprezentând celălalt intersect, poate?).
Presupunând cele de mai sus, auto-intersecția $ M.M $ a diagonale $ M $ în $ M \ ori M $ este $ \ chi (M \ otimes ^ L M) $.
Deoarece $ M $ este netedă, $ \ text {Tor} ^ i (M, M) = \ Omega ^ i $.
Prin aditivitatea lui $ \ chi $, primiți:
$ M.M = \ sum_i \ chi (\ Omega ^ i) (-1) ^ i $
Pe de altă parte, teorema lui de Rham (sau Poincare lemma?) Identifică partea dreaptă cu $ \ chi (M, \ text {constant sheaf}) = \ chi (M) $, așa că am terminat.