Parametrizarea limitei setului Mandelbrot

Știe cineva cum să parametrize limita setului Mandelbrot? Eu nu sunt un geomputer fractal sau o persoană sistemică dinamică. Am doar o curiozitate idioată cu privire la această întrebare.

Setul Mandelbrot este obișnuit definit ca setul $ M $ al tuturor punctelor $ c \ în \ mathbb {C} $ astfel încât iterațiile funcției $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, începând cu $ z = 0 $ , rămân limitate pentru totdeauna. Cele mai frumoase reprezentări ale setului Mandelbrot arată $ M $ ca o intersecție a unei secvențe infinite de mulțimi $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $, unde limita $ M_i $ este curba $ | z_i (c ) | = K $. Aici $ z_i (c) $ este iterația $ i $ t din $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, pornind de la $ z = 0 $, iar $ K $ este o constantă care garantează că iteratele viitoare vor scăpa. Aceste curbe $ \ partial (M_i) $ ghideaza privitorul pentru a vedea partile din ce in ce mai complicate ale setului Mandelbrot.

Fiecare din aceste curbe $ \ partial (M_i) $ este analitică și închisă. Acestea pot fi astfel parametrizate frumos cu o serie trigonometrică. Mai precis, fiecare limită are o parametrizare a formei $ z (t) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ suma_ {k = 0} ^ \ infty b_k \ sin (De fapt, din moment ce fiecare graniță $ \ partial (M_i) $ este determinată de o ecuație polinomială în părțile reale și imaginare ale lui $ c $, cred că fiecare dintre aceste serii ar trebui să se termine. cred că calea de limitare ar trebui să aibă, de asemenea, o anumită parametrizare cu o serie trigonometrică. Această limită este aceeași pentru toate $ K $? Dacă limita nu este aceeași pentru toate $ K $, atunci există o limită ca $ K \ rightarrow \ infty $? Care sunt coeficienții Fourier?

21
Parametrizarea limitată propusă nu pare a fi definită în mod unic, deoarece există (din câte știu) o parametrizare canonică în timp unit-time și coeficienții Fourier ar fi modificați printr-o reparametrizare.
adăugat autor ricree, sursa
De ce nu doar parametrizați curbele de limitare cu lungimea arcului? Da, lungimea arcului crește până la infinit, dar continuați să o comprimați într-un interval de unități.
adăugat autor Yursev, sursa

6 răspunsuri

Răspunsul lui Lasse sa extins: Fie $ \ psi $ hărțile exterioare ale discului unitate pe exteriorul setului Mandelbrot, cu seria Laurent $$ \ psi (w) = w + \ suma_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024} $$ Apoi, bineînțeles, limita setului Mandelbrot este imaginea cercului unic de sub această hartă. Cu toate acestea, aceasta depinde de conexiunea locală (care nu a fost încă dovedită) cu această limită. Aici, pentru coeficienții $ b_n $ nu există nicio formă închisă cunoscută, dar ele pot fi calculate recursiv. Bineînțeles că am pus $ w = e ^ {i \ theta} $ și apoi aceasta este o serie Fourier.

21
adăugat
Gerald: Arată destul de bine. Este aceasta limita acestor curbe de granita? Puteți da o referință pentru formula recursivă a coeficienților $ b_n $?
adăugat autor J. Chomel, sursa
Gerald: Cred că am găsit un loc bun online pentru a citi despre acest lucru, la " mrob.com /pub/muency/laurentseries.html" ; Vă mulțumim că m-ați îndreptat în direcția cea bună.
adăugat autor J. Chomel, sursa
adăugat autor Adam, sursa

Nu sunt sigur ce vă cereți. Limita setului Mandelbrot cu siguranță nu este o curbă analitică. De fapt, un rezultat faimos al lui Shishikura arată că granița setului Mandelbrot are dimensiunea Hausdorff 2.

Într-adevăr, nici măcar nu se știe dacă limita este o curbă (adică conectată local): aceasta este probabil cea mai faimoasă presupunere în dinamica holomorfă unidimensională.

Dacă setul Mandelbrot este conectat local, atunci există o descriere naturală a limitei setului Mandelbrot (ca valori limită ale hărții Riemann a complementului de $ M $); aceasta este de asemenea cunoscută ca fiind o descriere combinatorie naturală în multe feluri. Totuși, așa cum am menționat mai sus, această parametrizare nu este analitică sau chiar $ C ^ 1 $.

10
adăugat
Lassse: întreb despre curbele de graniță $ \ partial (M_i) $ care sunt analitice pentru toate $ i $ și toate $ K $. De exemplu, dacă $ K = 2 $, atunci $ \ partial (M_1) $ este cercul $ | c | = 2 $, $ \ parțial (M_2) $ este curba $ | c ^ 2 + c | , $ \ parțial (M_3) $ este curba $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $, etc.
adăugat autor J. Chomel, sursa
Credeam că te întrebi despre limita acestor curbe, care este limita setului Mandelbrot? Trebuie să menționez că o aproximare mai naturală a limitei setului Mandelbrot ar fi prin seturile de nivel ale funcției de uniformizare a complementului $ M $ ("equipotentials"). Dacă $ K $ este suficient de mare, aceste equipotențialii vor fi aproape de curbele pe care le descrieți.
adăugat autor isomorphismes, sursa

Pentru a extinde răspunsul lui Gerald Edgar, câteva fraze cheie pe care trebuie să le analizați sunt "potențialul lui Douady-Hubbard" și " raze externe . "

O rază externă este imaginea razei $ \ arg z = \ theta $ pentru $ fixed $ \ theta $ sub harta conformă a lui Gerald $ \ psi $.

Potențialul Douady-Hubbard este doar conjugatul armonic al argumentului ray extern: este potențialul care razele externe sunt liniile de câmp.

Sunt sigur că nu a fost dovedit că $ \ psi (\ zeta) $ este bine definit pentru toate $ \ zeta $ pe cercul unității, dar cred că este presupus că este așa. (Uneori, acest lucru este formulat spunând că raza externă "aterizează".) Cu toate acestea, razele externe la unghiuri raționale $ 2 \ pi m/n $ sunt cunoscute a ateriza și, în plus, dinamica la punctele de aterizare de la limita este legată la fracțiunea $ m/n $ într-un mod foarte frumos. (Există o analogie între harta de dublare $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ pe cercul și hărți holomorfice $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ și dinamica lui $ \ theta $ sub prima hartă se referă la dinamica hărții $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $, unde $ c_ \ theta $ este punctul de aterizare al razei corespunzătoare la limita setului Mandelbrot.) Astfel, această parametrizare a limitei este într-adevăr un obiect important și natural (dacă este bine definit, așa cum se presupune).

6
adăugat

$\psi(w)$ is called Jungreis function
Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function

Iată câteva imagini, cod și descriere care prezintă unele parametrizări:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - using Jungreis function

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

cerc până la parametrizarea limită

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png

Metoda Newton:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

cerc la component (sau partea sa):

http://commons.wikimedia.org/w/index. PHP title = fişier:? Mandelbrot_set_Components.jpg

4
adăugat

Conjectura mea ar fi că o asemenea parametrizare nu ar funcționa. Încercați ceva similar pentru o structură mai simplă (în anumite puncte de vedere), cum ar fi o fulg de zăpadă Koch. Ar fi abordarea dvs. de parametrizare să vă permite să generați o funcție bazată pe $ n $, numărul de iterații recursive folosite pentru a genera fulgii de zăpadă la o anumită adâncime? Nu aș crede. S-ar putea să puteți, cel puțin pentru curba Koch, să parametrizeți coca "banda de cauciuc" în jurul acesteia, dar acest lucru ar fi trivial pentru majoritatea obiectelor definite în mod recursiv.

1
adăugat

Aruncați o privire la "Unghiurile externe". Se pare că o linie care vine de la infinit sub orice unghi, rămânând mereu perpendiculară pe liniile potențiale, va atinge în cele din urmă setul.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Încă încerc să-mi dau seama exact de matematica din spatele lor. Sursele lui Haskell sunt cripte pentru mine.

0
adăugat